Question

如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=．
（Ⅰ）求证：AO⊥平面BCD；
（Ⅱ）求异面直线AB与CD所成角的余弦；
（Ⅲ）求点E到平面ACD的距离．

Answer 1

【答案】分析：（I）连接OC，由BO=DO，AB=AD，知AO⊥BD，由BO=DO，BC=CD，知CO⊥BD．在△AOC中，由题设知，AC=2，故AO²+CO²=AC²，由此能够证明AO⊥平面BCD．
（II）取AC的中点M，连接OM、ME、OE，由E为BC的中点，知ME∥AB，OE∥DC，故直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角．在△OME中，，由此能求出异面直线AB与CD所成角大小的余弦．
（III）设点E到平面ACD的距离为h．在△ACD中，，故=，由AO=1，知，由此能求出点E到平面ACD的距离．
解答：（I）证明：连接OC，∵BO=DO，AB=AD，∴AO⊥BD，
∵BO=DO，BC=CD，∴CO⊥BD．
在△AOC中，由题设知，AC=2，
∴AO²+CO²=AC²，
∴∠AOC=90°，即AO⊥OC．
∵AO⊥BD，BD∩OC=O，
∴AO⊥平面BCD．
（II）解：取AC的中点M，连接OM、ME、OE，由E为BC的中点，
知ME∥AB，OE∥DC，
∴直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角．
在△OME中，，…（6分）
∵OM是直角△AOC斜边AC上的中线，∴，…（7分）
∴，
∴异面直线AB与CD所成角大小的余弦为…（8分）
（III）解：设点E到平面ACD的距离为h．
…（9分）
在△ACD中，，
∴=，
∵AO=1，，
∴==，
∴点E到平面ACD的距离为．
点评：本题考查点、线、面间的距离的计算，考查空间想象力和等价转化能力，解题时要认真审题，仔细解答，注意化立体几何问题为平面几何问题．