Question

【题目】已知过点P（4，0）的动直线与抛物线C：交于点A，B，且（点O为坐标原点）.

（1）求抛物线C的方程；

（2）当直线AB变动时，x轴上是否存在点Q使得点P到直线AQ，BQ的距离相等，若存在，求出点Q坐标，若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）＝；（2）轴上存在点，使得点到直线，的距离相等.

【解析】

（1）设过点的动直线为＝，联立抛物线的方程，设，，运用韦达定理，结合向量的数量积的坐标表示，化简可得，进而得到抛物线方程；

（2）轴上假设存在点符合题意，由题意可得＝，运用直线的斜率公式和韦达定理，化简可得的值，即可判断存在性．

（1）设过点的动直线为＝，

代入抛物线＝，可得＝，

设，，

可得＝，

由可得＝＝，

解得＝，则抛物线的方程为＝；

（2）当直线变动时，轴上假设存在点使得点到直线，的距离相等，

由角平分线的判定定理可得为的角平分线，即有＝，

由（1）可得＝，＝，

则，

化为＝，

即为＝，

化简可得＝，

则轴上存在点，使得点到直线，的距离相等．