Question

已知二次函数f(x)＝ax²＋bx＋c的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)＝0且0<x<c时，f(x)>0，
(1)证明：是f(x)＝0的一个根；
(2)试比较与c的大小；
(3)证明：－2<b<－1.

Answer 1

（1）见解析   （2）>c.   （3）见解析

解：(1)证明：∵f(x)的图象与x轴有两个不同的交点，
∴f(x)＝0有两个不等实根x₁，x₂，
∵f(c)＝0，
∴x₁＝c是f(x)＝0的根，
又x₁x₂＝，
∴x₂＝ (≠c)，
∴是f(x)＝0的一个根．
(2)假设<c，又>0，
由0<x<c时，f(x)>0，
知f()>0与f()＝0矛盾，∴≥c，
又∵≠c，∴>c.
(3)证明：由f(c)＝0，得ac＋b＋1＝0，
∴b＝－1－ac.
又a>0，c>0，∴b<－1.
二次函数f(x)的图象的对称轴方程为
x＝－＝<＝x₂＝，
即－<.
又a>0，∴b>－2，
∴－2<b<－1.