Question

已知F₁、F₂是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，A是椭圆上位于第一象限的一点，B也在椭圆上，且满足

OA

+

OB

=

0

（O为坐标原点），

AF2

•

F1F2

=0，且椭圆的离心率为

2

2

．
（1）求直线AB的方程；
（2）若△ABF₂的面积为4

2

，求椭圆的方程．

Answer 1

分析：（1）由

OA

+

OB

=0知直线AB过原点，且A、B关于原点对称，由

AF2

•

F1F2

=0，可得A点的横坐标为x=c，再利用椭圆的离心率为

2

2

，即可求得A点的坐标，从而利用点斜式写出直线AB的方程即可；（2）将△ABF₂的面积分成两份，以OF₂为公共底边，则高即为A、B纵坐标之差，列方程即可解得c值，进而求得a²，b²，确定椭圆方程

解答：解：（1）由

OA

+

OB

=0知直线AB过原点，
又

AF2

•

F1F2

=0，∴

AF2

⊥

F1F2

∴A点的横坐标为x=c，代入椭圆方程得A点纵坐标为y=

(1- c2 a2 )×b2

又∵椭圆的离心率为

2

2

，即

c

a

=

2

2

∴y=

b2 2

=

a2-c2 2

=

2c2-c2 2

=

2

2

c
即A（c，

2

2

c），∴直线AB的斜率为

2 2 c

c

=

2

2

∴直线AB的方程为y=

2

2

x
（2）由对称性知S_△ABF2=

1

2

×|OF₂|×|y_A-y_B|
=

1

2

×c×

2

c=4

2

解得c²=8，∴a²=16，b²=a²-c²=8
∴椭圆方程为

x2

16

+

y2

8

=1

点评：本题主要考查了椭圆标准方程及其应用和求法，椭圆的几何性质如离心率、对称性等的应用，向量在解析几何中的应用，直线方程的求法，由一定难度