Question

已知函数f（x）=-x³-2mx²-m²x+1-m（其中m＞-2）在点x=1处取得极值．
（1）求实数m的值；
（2）求函数f（x）在区间[0，1]上的最小值；
（3）若a≥0，b≥0，c≥0，且a+b+c=1，证明不等式

a

1+a2

+

b

1+b2

+

c

1+c2

≤

9

10

．

Answer 1

分析：（1）由题可得f'（x）=-3x²-4mx-m²则f'（1）=0，即m²+4m+3=0所以m=-3或m=-1．
（2）由（1）得f'（x）=-3x²+4x-1，令f'（x）≥0，得f（x）在[0，1]上的增区间为[

1

3

，1]，减区间为[0，

1

3

]，进而得到函数的最值

50

27

．
（3）由（2）得(1+x2)(2-x)≥

50

27

即整理得

x

1+x2

≤

27

50

(2x-x2)可得

a

1+a2

+

b

1+b2

+

c

1+c2

≤

27

50

(2a-a2+2b-b2+2c-c2)=

27

50

[2-(a2+b2+c2)]

解答：解：（1）由题可得f'（x）=-3x²-4mx-m²
则f'（1）=0，即m²+4m+3=0所以m=-3或m=-1，又m＞-2，故m=-1
（2）由（1）知，f（x）=-x³+2x²-x+2，则f'（x）=-3x²+4x-1
令f'（x）≥0，得f（x）在[0，1]上的增区间为[

1

3

，1]，减区间为[0，

1

3

]，
所以f(x)min=f(

1

3

)=

50

27

（3）因f（x）=-x³+2x²-x+2=（1+x²）（2-x），x∈[0，1]
所以(1+x2)(2-x)≥

50

27

，即

1

1+x2

≤

27

50

(2-x)
所以

x

1+x2

≤

27

50

(2x-x2)
故

a

1+a2

+

b

1+b2

+

c

1+c2

≤

27

50

(2a-a2+2b-b2+2c-c2)=

27

50

[2-(a2+b2+c2)]
又1=（a+b+c）²=a²+b²+c²+2（ab+bc+ac）≤3（a²+b²+c²）
所以a2+b2+c2≥

1

3

所以

a

1+a2

+

b

1+b2

+

c

1+c2

≤

27

50

×(2-

1

3

)=

9

10

（当且仅当a=b=c=

1

3

时取”=”）

点评：本题考查利用导数研究函数的极值与最值，还考查了利用函数的最值证明不等式恒成立的知识点，导数与不等式相结合是高考考查的热点，多以解答题的形式出现属于中档题．