Question

已知函数f（x）定义在区间（-1，1）上，，对任意x、y∈（-1，1），恒有成立，又数列a_n满足，设．
（1）在（-1，1）内求一个实数t，使得；
（2）证明数列f（a_n）是等比数列，并求f（a_n）的表达式和的值；
（3）是否存在m∈N^*，使得对任意n∈N^*，都有成立？若存在，求出m的最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接利用条件把2f（）进行转化代入已知即可求出实数t；
（2）把f（a_n+1）利用已知条件进行整理得到f（a_n+1）与f（a_n）之间的关系式，即可证明数列f（a_n）是等比数列，进而求f（a_n）的表达式；利用求得的f（a_n）的表达式代入即可求出的值；
（3）利用（2）的结论求出b_n的表达式，代入，整理后把恒成立问题转化为恒成立，最后利用函数的单调性求出的最值即可求出m的最小值．
解答：解：（1），
∴（3分）
（2）∵，且
∴，
即
∴f（a_n）是以-1为首项，2为公比的等比数列，（2分）
∴f（a_n）=-2^n-1．（4分）
∴．（8分）
（3）由（2）得，．（1分）
若对任意n∈N^*恒成立，即，恒成立（3分）
∵n∈N^*，∴当n=1时，有最大值4，故m＞4．（5分）
又m∈N^*，∴存在m≥5，使得对任意n∈N^*，有．
所以m_min=5．（7分）
点评：本题是对数列和函数知识的综合考查．这一类型题，一般都是利用函数的性质来研究数列的性质，做题的关键是把函数的性质理解透彻．