Question

已知圆，直线，点在直线上，过点作圆的切线、，切点为、．
（Ⅰ）若，求点坐标；
（Ⅱ）若点的坐标为，过作直线与圆交于、两点，当时，求直线的方程；
（III）求证：经过、、三点的圆与圆的公共弦必过定点，并求出定点的坐标．

Answer 1

（Ⅰ）或；（Ⅱ）或；（III）

试题分析：解：（Ⅰ）由条件可知，设，则解得或，所以或………………4分
(Ⅱ)由条件可知圆心到直线的距离，设直线的方程为，
则，解得或 
所以直线的方程为或………………8分
（III）设，过、、三点的圆即以为直径的圆，
其方程为
整理得与相减得

即
由得
所以两圆的公共弦过定点………………14分
点评：本题第一、二小题较容易，第三小题较难。但第三小题解法巧妙，使得问题简化。这种解法是这样的，将两圆的方程相减，得到一条直线的方程，由于两圆相交于两点，因而这条直线也经过这两点，故这条直线就是弦所在的直线。