Question

(本小题满分12分)
如图, 是边长为的正方形，平面，，，与平面所成角为.
(Ⅰ) 求二面角的余弦值；
(Ⅱ) 设是线段上的一个动点，问当的值为多少时，可使得平面，并证明你的结论.

Answer 1

(Ⅰ) 因为平面，
所以. 因为是正方形，
所以,从而平面.    
所以两两垂直，以为原点，分
别为轴建立空间直角坐标系如图所示.
因为与平面所成角为，即，  所以.
由可知，.                       
则，，，，，
所以，，                     
设平面的法向量为，则，即，
令，则. 
因为平面，所以为平面的法向量，，
所以.                
因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为. ………………8分
(Ⅱ)解：点是线段上一个动点，设.则，
因为平面，所以， 即，解得.
此时，点坐标为，符合题意.  ………………12分

略