题目内容
已知点A（1，0），P1、P2、P3是平面直角坐标系上的三点，且|AP1|、|AP2|、|AP3|成等差数列，公差为d，d≠0．（1）若P1坐标为（1，-1），d=2，点P3在直线3x-y-18=0上时，求点P3的坐标；
（2）已知圆C的方程是（x-3）2+（y-3）2=r2（r＞0），过点A的直线交圆于P1、P3两点，P2是圆C上另外一点，求实数d的取值范围；
（3）若P1、P2、P3都在抛物线y2=4x上，点P2的横坐标为3，求证：线段P1P3的垂直平分线与x轴的交点为一定点，并求该定点的坐标．
【答案】分析：（1）利用P1坐标为（1，-1），d=2，求出|AP3|，利用点P3在直线3x-y-18=0上，解方程组即可求点P3的坐标；
（2）求出圆C的方程是（x-3）2+（y-3）2=r2（r＞0），的圆心与半径，求出点A与圆的圆心的距离，通过A在圆内与圆外，分别求实数d的取值范围；
（3）利用P1、P2、P3都在抛物线y2=4x上，抛物线的定义，求出线段P1P3的斜率，求出直线方程，通过y=0，推出直线与x轴的交点为一定点，即可求该定点的坐标．
解答：解（1）因为|AP1|、|AP2|、|AP3|成等差数列，且|AP1|=1，d=2，所以|AP3|=5，
设P3（x，y）
则
，消去y，得x2-11x+30=0，…（2分）
解得x1=5，x2=6，所以P3的坐标为（5，-3）或（6，0）
（2）由题意可知点A到圆心的距离为
…（6分）
（ⅰ）当
时，点A（1，0）在圆上或圆外，|2d|=||AP3|-|AP1||=|P1P3|，
又已知d≠0，0≤|P1P3|≤2r，所以-r≤d＜0或 0＜d≤r
（ⅱ）当
时，点A（1，0）在圆内，所以
，
又已知d≠0，
，即
或
结论：当
时，-r≤d＜0或 0＜d≤r；当
时，
或
（3）因为抛物线方程为y2=4x，所以A（1，0）是它的焦点坐标，
点P2的横坐标为3，即|AP2|=4
设P1（x1，y1），P3（x3，y3），则|AP1|=x1+1，|AP3|=x3+1，|AP1|+|AP3|=2|AP2|，
所以x1+x3=2x2=6
直线P1P3的斜率
，则线段P1P3的垂直平分线l的斜率
则线段P1P3的垂直平分线l的方程为
直线l与x轴的交点为定点（5，0）
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，直线与圆的位置关系的综合应用，直线系方程的应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用与计算能力的考查．
（2）求出圆C的方程是（x-3）2+（y-3）2=r2（r＞0），的圆心与半径，求出点A与圆的圆心的距离，通过A在圆内与圆外，分别求实数d的取值范围；
（3）利用P1、P2、P3都在抛物线y2=4x上，抛物线的定义，求出线段P1P3的斜率，求出直线方程，通过y=0，推出直线与x轴的交点为一定点，即可求该定点的坐标．
解答：解（1）因为|AP1|、|AP2|、|AP3|成等差数列，且|AP1|=1，d=2，所以|AP3|=5，
设P3（x，y）
则
，消去y，得x2-11x+30=0，…（2分）解得x1=5，x2=6，所以P3的坐标为（5，-3）或（6，0）
（2）由题意可知点A到圆心的距离为
…（6分）（ⅰ）当
时，点A（1，0）在圆上或圆外，|2d|=||AP3|-|AP1||=|P1P3|，又已知d≠0，0≤|P1P3|≤2r，所以-r≤d＜0或 0＜d≤r
（ⅱ）当
时，点A（1，0）在圆内，所以，又已知d≠0，
，即或结论：当
时，-r≤d＜0或 0＜d≤r；当时，或（3）因为抛物线方程为y2=4x，所以A（1，0）是它的焦点坐标，
点P2的横坐标为3，即|AP2|=4
设P1（x1，y1），P3（x3，y3），则|AP1|=x1+1，|AP3|=x3+1，|AP1|+|AP3|=2|AP2|，
所以x1+x3=2x2=6
直线P1P3的斜率
，则线段P1P3的垂直平分线l的斜率则线段P1P3的垂直平分线l的方程为
直线l与x轴的交点为定点（5，0）
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系，直线与圆的位置关系的综合应用，直线系方程的应用，考查分析问题解决问题的能力，转化思想的应用与计算能力的考查．
练习册系列答案
口算小状元口算速算天天练系列答案
天天练口算系列答案
相关题目
如图，已知点A（-1，0）与点B（1，0），C是圆x2+y2=1上的动点，连接BC并延长至D，使得|CD|=|BC|，求AC与OD的交点P的轨迹方程．