Question

已知点A（-1，0），B（0，2），点P是圆（x-1）²+y²=1上任意一点，则△PAB面积的最大值是

 

．

Answer 1

分析：当过P点的直线与AB平行且与圆相切时，切点P为△PAB面积的最大值时动点的位置，由A与B的坐标求出直线AB的斜率为2，进而得到切线的斜率也为2，设出切线方程y=2x+b，利用直线与圆相切时圆心到直线的距离d等于半径r，列出关于b的方程，求出的解得到b的值，确定出切线的方程，然后由A与B两点写出直线AB的方程，根据平行线间的距离公式求出AB与切线间的距离即为三角形ABP中AB边上的高，利用勾股定理求出|AB|的长，利用三角形的面积公式即可求出此时△PAB面积，此时的面积即为最大值．

解答：解：根据题意画出图形，如图所示：
由直线AB的斜率k_AB=

2-0

0-(-1)

=2，得到过P与AB平行且与圆相切的直线斜率k=2，
设该直线的方程为：y=2x+b，又圆心坐标为（1，0），半径r=1，
所以圆心到直线的距离d=

|b+2|

5

=r=1，即b=

5

-2（舍去）或b=-

5

-2，
故该直线方程为：y=2x-

5

-2，又直线AB的方程为：y=2（x+1），即y=2x+2，
所以两平行线的距离为

5 +4

5

，|AB|=

12+22

=

5

，
则△PAB面积的最大值是

1

2

×

5

×

5 +4

5

=

4+ 5

2

．
故答案为：

4+ 5

2

点评：此题考查学生掌握直线与圆相切时满足的条件，掌握平行线间的距离公式，考查了数形结合的数学思想．当过一点于圆相切且与直线AB平行，此时切线与圆的切点为△PAB面积取得最大值时动点P的位置，找出此点是解本题的关键．