Question

已知点A（1，0），B（0，1）和互不相同的点P₁，P₂，P₃，…，P_n，…，满足

OPn

=an

OA

+bn

OB

(n∈N*)，O为坐标原点，其中a_n、b_n分别为等差数列和等比数列，若P₁是线段AB的中点，设等差数列公差为d，等比数列公比为q，当d与q满足条件

 

时，点P₁，P₂，P₃，…，P_n，…共线．

Answer 1

分析：设数列a_n的公差为d，b_n的公比为q，因为P₁，P₂，P₃，，P_n，是互不相同的点，可得d=0，q=1不会同时成立．当d=0时，点P₁，P₂，P₃，，P_n，均在直线 x=

1

2

上．当q=1时，点P₁，P₂，P₃，，P_n，均在直线 y=

1

2

上．关键是当d≠0，q≠1时，点P₁，P₂，P₃，，P_n，不会在同一条直线上，只要验证P₁，P₂，P₃，不共线即可，

解答：解：设数列a_n的公差为d，b_n的公比为q，因为P₁，P₂，P₃，，P_n，是互不相同的点，
所以，d=0，q=1不会同时成立．
当d=0时，an=a1=

1

2

（n∈N^*），
此时，点P₁，P₂，P₃，，P_n，均在直线 x=

1

2

上．
当q=1时，bn=b1=

1

2

，此时，点P₁，P₂，P₃，，P_n，均在直线 y=

1

2

上．
当d≠0，q≠1时，点P₁，P₂，P₃，，P_n，不会在同一条直线上，
因为 P1(

1

2

，

1

2

)，P2(

1

2

+d，

1

2

q)，P3(

1

2

+2d，

1

2

q2)，
所以，kP1P2=

q-1

2d

，kP2P3=

q(q-1)

2d

，
因为q≠1，
所以，kP1P2≠kP2P3，
点P₁，P₂，P₃不会同一条直线上，即点P₁，P₂，P₃，，P_n，不会在同一条直线上．
故答案为：

d=0 q≠1

或

d≠0 q=1

另一种描述：d=0或q=1且d=0与q=1不同时成立．

点评：本题主要考查知识间的渗透问题，由向量形式和坐标形式的转化，曲线与方程的转化，点的横纵坐标是一个数列用数列知识研究其关系．