Question

【题目】如图1所示的平面图形中，ABCD是边长为2的正方形，△HDA和△GDC都是以D为直角顶点的等腰直角三角形，点E是线段GC的中点．现将△HDA和△GDC分别沿着DA，DC翻折，直到点H和G重合为点P．连接PB，得如图2的四棱锥．
（Ⅰ）求证：PA∥平面EBD；
（Ⅱ）求二面角C﹣PB﹣D大小．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）连接AC交BD于点O，连接EO，因为四边形ABCD是正方形，所以O为AC的中点，

又因为E为PC中点，所以EO为△CPA的中位线，所以EO∥PA

因为EO平面EDB，PA平面EDB

所以PA∥平面EDB

（Ⅱ）由题意有PD⊥DC，PD⊥DA，AD⊥CD，故DA，DC，DP两两垂直

如图，以D为原点建立空间直角坐标系D﹣xyz

则D（0，0，0），P（0，0，2），B（2，2，0），E（0，1，1），

A（2，0，0），C（0，2，0）

由题知PD⊥平面ABCD

又因为AC平面ABCD，所以AC⊥PD，

又AC⊥BD，PD∩BD=D，所以AC⊥平面PBD，所以平面PBD的法向量是

设平面PBC的法向量 =（x，y，z），

由于 ，

则 ，所以

令z=1，得 =（0，1，1）

则cos＜ ＞= = = ，

由图可知求二面角C﹣PB﹣D的平面角为锐角，

所以二面角C﹣PB﹣D的大小为60o

【解析】（Ⅰ）连接AC交BD于点O，连接EO，推导出EO∥PA，由此能证明PA∥平面EDB．（Ⅱ）由题意知DA，DC，DP两两垂直，以D为原点建立空间直角坐标系D﹣xyz，利用向量法能求出二面角C﹣PB﹣D的大小．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面平行的判定的相关知识，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行．