Question

【题目】如图，椭圆E的左右顶点分别为A、B，左右焦点分别为F1、F2 ， |AB|=4，|F1F2|=2 ，直线y=kx+m（k＞0）交椭圆于C、D两点，与线段F1F2及椭圆短轴分别交于M、N两点（M、N不重合），且|CM|=|DN|．
（Ⅰ）求椭圆E的离心率；
（Ⅱ）若m＞0，设直线AD、BC的斜率分别为k1、k2 ， 求 的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由 ，可知 即椭圆方程为

离心率为

（Ⅱ）设D（x1，y1），C（x2，y2）易知 ．

由 消去y整理得：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，

由△＞04k2﹣m2+1＞0即m2＜4k2+1，

且|CM|=|DN|即 可知 ，即 ，解得 ．

由题知，点M、F1的横坐标 ，有 ，

易知 满足m2＜2，

即 ，则

【解析】（Ⅰ）由 ，求出a，c，然后求解椭圆的离心率．（Ⅱ）设D（x1，y1），C（x2，y2）通过 ，结合△＞0推出m2＜4k2+1，利用韦达定理|CM|=|DN|．求出直线的斜率，然后表示出 ，然后求解它的范围即可．