题目内容
某国从1790年至1950年的部分人口数据资料如下表：
试利用上述资料预测2010年该国的人口数．
解析：
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分析：用x轴表示年份，y轴表示人口数，建立平面直角坐标系，作出散点图．观察散点图，发现1890年以后各点分布在一条直线附近，而从散点图的整体趋势看，各点的连线可以看作是抛物线的一部分或指数型函数图象的一部分．因此，可以采用一次函数、二次函数、指数型函数这三种函数模型来近似刻画人口数y与年份x的函数关系． 解：(1)一次函数模型：从散点图可以看出，1890年以后各点分布在一条直线附近． 设函数模型为y＝kx＋b，将点(1900，75.995)，(1920，105.711)代入，解得k＝1.4858，b＝－2747.025，所以y＝1.4858x－2747.025． 所以，当x＝2010时，y＝239.433． 故预测2010年该国人口约为239.433百万． (2)二次函数模型：从散点图的整体趋势看，各点近似分布在一条以直线x＝1790为对称轴的抛物线上． 设函数模型为y＝a(x－1790)2＋h，则以点(1790，3.929)为顶点，再任意选一点(1890，62.948)，可确定模型为y＝0.0059(x－1790)2＋3.929． 所以，当x＝2010时，y＝289.489． 故预测2010年该国人口约为289.489百万． (3)指数型函数模型：从散点图的整体趋势看，还可考虑用指数型函数模型进行数据拟合． 设函数模型为y＝abx－c，将点(1930，122.775)，(1940，131.669)，(1950，150.697)代入y＝abx－c，利用计算器算得a≈131.669，b≈1.0136，c≈1940，所以y＝131.669×1.0136x－1940． 所以，当x＝2010时，y＝338.958． 故预测2010年该国人口约为338.958百万． 点评：本题没有给出函数模型，需要根据题中的数据作出散点图，与已学过的函数图象对照、比较，并猜测函数模型．在解此类问题的过程中，首先需要在实际情境中理解、分析所给的一系列数据，舍去与解题无关的因素，再把抽象问题转化为数学模型． |
