Question

下图表示了一个由区间（0，1）到实数集的映射过程：区间（0，1）中的实数m对应数轴上的点M，如图1；将线段AB围成一个圆，使两端点A、B恰好重合，如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为（0，1），如图3，图3中直线AM与x轴交于点N  n  0，则m的象就是n，记作f（m）=n，下列正确命题的序号是

 

．（填出所有正确命题的序号）
①f（

1

2

）=0；
②f（x）是奇函数；
③f（x）在定义域上单调递增；
④f（x）的图象关于点（

1

2

，0）对称．

Answer 1

分析：借助于图形来看四个选项，先利用f（

1

2

）=0，
判断出①对，
因实数m所在区间（0，1）不关于原点对称，知②错；
从图形上可得f（x）在定义域上单调递增，③对；
先找到f（

1

2

）=0，再利用图形判断④对．

解答：解：如图，因为在以为圆心，为半径的圆上运动，对于①当实数m=

1

2

时，对应的点在点A的正下方，此时点N（0，0），所以f（

1

2

）=0，即①对；
对于②，因为实数m所在区间（0，1）不关于原点对称，所以f（x）不存在奇偶性．故②错．
对于③，当实数m越来越大时，如图直线AM与x轴的交点N（n，0）也越来越往右，即n也越来越大，所以f（x）在定义域上单调递增，即③对．
对于④因f（

1

2

）=0，再由图形可知f（x）的图象关于点（

1

2

，0）对称，即④对．
故答案为：①③④．

点评：本题考查了在新定义的条件下解决函数问题，是一道很好的题．关于新定义型的题，关键是理解定义，并会用定义来解题．