Question

如图，在区间[0，1]上给定曲线y=x²，试在此区间内确定点t的值，使图中阴影部分的面积S₁+S₂最小．

Answer 1

分析：先利用定积分分别表示出阴影部分的面积S₁与S₂，然后求出S₁+S₂关于t的函数解析式和定义域，利用导数研究函数的单调性，从而求出函数的最小值．

解答：解：S1=t•t2-

∫

t 0

x2dx=

2

3

t3，
S2=

∫

1 t

x2dx-t2(1-t)=

2

3

t3-t2+

1

3

…（4分）
∴S=S1+S 2=

4

3

t3-t2+

1

3

(0＜t≤1)…（6分）
S′(t)=4t2-2t=4t(t-

1

2

)
令S′（t）=0，得t=

1

2

或t=0（舍去）
当0＜t＜

1

2

时，S′（t）＜0；当

1

2

＜t≤1时，S′（t）＞0；
∴当t∈(0，

1

2

]时，S（t）为减函数，当t∈(

1

2

，1]时，S（t）为增函数…（10分）
所以，当t=

1

2

时，Smin=S(

1

2

)=

1

4

…（12分）

点评：本题主要考查了定积分在求面积中的应用，以及利用导数研究函数的单调性和求函数最值，属于中档题．