题目内容
已知un=an+an-1b+an-2b2+…+abn-1+bn（n∈N*，a＞0，b＞0）．（Ⅰ）当a=b时，求数列{un}的前n项和Sn；
（Ⅱ）求
| lim |
| n→∞ |
| un |
| un-1 |
分析：（Ⅰ）当a=b时，求出un=（n+1）an．再应用数列的前n项和错位相减，求数列{un}的前n项和Sn；
（Ⅱ）求出
的表达式，对a，b的大小分类讨论，求出数列的极限．
（Ⅱ）求出
| un |
| un-1 |
解答：解：（Ⅰ）当a=b时，un=（n+1）an．这时数列{un}的前n项和Sn=2a+3a2+4a3++nan-1+（n+1）an． ①
①式两边同乘以a，得aSn=2a2+3a3+4a4++nan+（n+1）an+1②
①式减去②式，得（1-a）Sn=2a+a2+a3++an-（n+1）an+1
若a≠1，（1-a）Sn=
-（n+1）an+1+a，
Sn=
+
=
若a=1，Sn=2+3++n+（n+1）=
．
（Ⅱ）由（Ⅰ），当a=b时，un=（n+1）an，
则
=
=
=a．
当a≠b时，un=an+an-1b++abn-1+bn=an[1+
+(
)2+(
)n]=an
=
（an+1-bn+1）
此时，
=
．
若a＞b＞0，
=
=
=a．
若b＞a＞0，
=
=b．
①式两边同乘以a，得aSn=2a2+3a3+4a4++nan+（n+1）an+1②
①式减去②式，得（1-a）Sn=2a+a2+a3++an-（n+1）an+1
若a≠1，（1-a）Sn=
| a(1-an) |
| 1-a |
Sn=
| a(1-an) |
| (1-a)2 |
| a-(n+1)an+1 |
| 1-a |
| (n+1)an+2-(n+2)an+1-a2+2a |
| (1-a)2 |
若a=1，Sn=2+3++n+（n+1）=
| n(n+3) |
| 2 |
（Ⅱ）由（Ⅰ），当a=b时，un=（n+1）an，
则
| lim |
| n→∞ |
| un |
| un-1 |
| lim |
| n→∞ |
| (n+1)an |
| nan-1 |
| lim |
| n→∞ |
| a(n+1) |
| n |
当a≠b时，un=an+an-1b++abn-1+bn=an[1+
| b |
| a |
| b |
| a |
| b |
| a |
1-(
| ||
1-
|
| 1 |
| a-b |
此时，
| un |
| un-1 |
| an+1-bn+1 |
| an-bn |
若a＞b＞0，
| lim |
| n→∞ |
| un |
| un-1 |
| lim |
| n→∞ |
| an+1-bn+1 |
| an-bn |
| lim |
| n→∞ |
a-b(
| ||
1-(
|
若b＞a＞0，
| lim |
| n→∞ |
| un |
| un-1 |
| lim |
| n→∞ |
a(
| ||
(
|
点评：本题是中档题，考查数列求和的重要方法：错位相减法，分类讨论的思想，极限的求法，高考常考题型．
练习册系列答案
相关题目
．
.
．