Question

【题目】已知函数，，．

（1）若存在极小值，求实数a的取值范围；

（2）若的极大值为，求证：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

（1）求导，令，则，得在上单调递减，在上单调递增，，由题意得按，分类讨论，计算实数a的取值范围即可；

（2）由（1）知，的极大值为，，令，求导得在上单调递增，即可证得.

（1）由题意得，令，则．

∴当时，得，当时，得，

∴在上单调递减，在上单调递增，且，，，，∴．

①当，即时，，于是在上是增函数，

从而在上无极值．

②当，即时，存在，使得，

且当时，，在上是单调递增；

当时，，在上是单调递减；

当时，，在上是单调递增，

故是在上的极小值．

综上，．

（2）由（1）知，的极大值为．

又，，

令，，则，

在区间上单调递增，，.