Question

长度为()的线段AB的两个端点A、B分别在轴和轴上滑动，点P在线段AB上，且满足(为常数，且)．

(1)求点P的轨迹方程C；

(2)当时，过点M(1，0)作两条互相垂直的直线和，和分别与曲线C相交于点N和Q(N、Q都异于点M)，试问△MNQ能不能是等腰三角形?若能，这样的三角形有几个；若不能，请说明理由．

Answer 1

解：(1)依题意，设点A、B的坐标分别为(，0)、(0，)，点P的坐标为(，)．

由，故

                          

    ∴，即

∵，∴

∴

∴点P的轨迹方程C是

(2)当时，曲线C的方程是，故点M(1，0)在曲线C上

依题意，可知直线和都不可能与坐标轴平行，可设直线方程为，

直线方程为，不妨设>0．

由，消去y得

由，又得，

∴|MN|=

          =

          =．

同理可得|MQ|=

=．

    假设△MNQ是等腰三角形，则|MN|=|MQ|，

即=，

化简得，

∴或      ①

①式的判别式△=

若△=<0，解得，此时式①得无解；

若△==0，解得，由式①得；

若△=>0，解得，由式①得

(可以验证且)． 

综上所述，△MNQ能是等腰三角形，

当时，这样的三角形有1个；

当时，这样的三角形有3个．