Question

（2012•海淀区一模）已知函数f(x)=alnx-

1

2

x2+

1

2

(a∈R且a≠0)．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）是否存在实数a，使得对任意的x∈[1，+∞），都有f（x）≤0？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）确定函数f（x）的定义域，求导函数，对a分类讨论，利用导数的正负，即可求得f（x）的单调区间；
（Ⅱ）对任意的x∈[1，+∞），都有f（x）≤0，即使得对任意的x∈[1，+∞），都有f（x）_max≤0，因此求出函数的最大值，即可确定a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞）．求导函数可得f′(x)=

a

x

-x=

-x2+a

x

．…（2分）
当a＜0时，在区间（0，+∞）上，f'（x）＜0．
所以f（x）的单调递减区间是（0，+∞）．…（3分）
当a＞0时，令f'（x）=0得x=

a

或x=-

a

（舍）．
函数f（x），f'（x）随x的变化如下：

x	(0， a )	a	( a ，+∞)
f'（x）	+	0	-
f（x）	↗	极大值	↘

所以 f（x）的单调递增区间是(0，

a

)，单调递减区间是(

a

，+∞)．…（6分）
综上所述，当a＜0时，f（x）的单调递减区间是（0，+∞）；
当a＞0时，f（x）的单调递增区间是(0，

a

)，单调递减区间是(

a

，+∞)．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：
当a＜0时，f（x）在[1，+∞）上单调递减，所以f（x）在[1，+∞）上的最大值为f（1）=0，即对任意的x∈[1，+∞），都有f（x）≤0．…（7分）
当a＞0时，
①当

a

≤1，即0＜a≤1时，f（x）在[1，+∞）上单调递减，所以f（x）在[1，+∞）上的最大值为f（1）=0，即对任意的x∈[1，+∞），都有f（x）≤0．…（10分）
②当

a

＞1，即a＞1时，f（x）在[1，

a

)上单调递增，所以 f(

a

)＞f(1)．
又 f（1）=0，所以 f(

a

)＞0，与对于任意的x∈[1，+∞），都有f（x）≤0矛盾．…（12分）
综上所述，存在实数a满足题意，此时a的取值范围是（-∞，0）∪（0，1]．…（13分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，解题的关键是正确求导，合理分类，属于中档题．