Question

设椭圆，直线l过椭圆左焦点F₁且不与x轴重合，l椭圆交于P、Q，左准线与x轴交于K，|KF₁|=2．当l与x轴垂直时，．
（1）求椭圆T的方程；
（2）直线l绕着F₁旋转，与圆O：x²+y²=5交于A，B两点，若，求△F₂PQ的面积S的取值范围（F₂为椭圆的右焦点）．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲求椭圆方程，只要求出a，b即可，因为左准线与x轴交于K，|KF₁|=2，可得到一个含a，c的等式，又因为，当l与x轴垂直时，可得一个含a，b的等式，再根据a，b，c之间的关系，就可求出a，b的值，椭圆方程可得．
（2）△F₂PQ的面积S=|AB|d，可设直线方程，与椭圆方程联立，求出|AB|，再用点到直线的距离公式，求出d，代入）△F₂PQ的面积S，最后用导数求范围即可．
解答：解（1）设椭圆半焦距为c， 
，将x=-c 代入椭圆方程得，
∴ 

所以，
∴ 
a²=3，b²=2 所求椭圆方程为： 

（3）设直线l：x=my-1 即x-my+1=0，圆心O 到l 的距离 
由圆性质：，
又，得m²∈[0，3]
联立方程组，消去x 得（2m²+3）y²-4my-4=0 
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂） 
则 
== 
==（令t=m²+1∈[1，4]），
设，
f′（t）=4-=＞0，对t∈[1，4]恒成立，
f（t）=4t+在[1，4]上为增函数，，
所以，
点评：本题考查了椭圆方程的求法，以及弦长公式及点到直线的距离公式的应用．