Question

已知圆O:交轴于A，B两点,曲线C是以为长轴,离心率为的椭圆,其左焦点为F.若P是圆O上一点,连结PF,过原点O作直线PF的垂线交直线X＝-2于点Q.

(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；

(Ⅱ)若点P的坐标为(1,1),求证:直线PQ与圆相切；

(Ⅲ)试探究:当点P在圆O上运动时(不与A、B重合),直线PQ与圆O是否保持相切的位置关系?若是,请证明；若不是,请说明理由.

Answer 1

解析:

(Ⅰ)因为,所以c=1          则b=1,即椭圆的标准方程为    

(Ⅱ)因为(1,1),所以,所以,所以直线OQ的方程为y=－2x 

又椭圆的左准线方程为x=－2,所以点Q(－2,4)            

所以,又,所以,即,   

故直线与圆相切   

(Ⅲ)当点在圆上运动时,直线与圆保持相切   

证明:设(),则,所以,,

所以直线OQ的方程为                  

所以点Q(－2,)                            

所以,又,

所以,即,故直线始终与圆相切