Question

已知圆O:交轴于A，B两点,曲线C是以为长轴,离心率为的椭圆,其左焦点为F．若P是圆O上一点连结PF,过原点O作直线PF的垂线交椭圆C的左准线于点Q．

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若点P的坐标为(1,1),求证:直线PQ与圆相切；

(3)试探究:当点P在圆O上运动时(不与A、B重合),直线PQ与圆O是否保持相切的位置关系?若是,请证明；若不是,请说明理由．

 

 

Answer 1

【答案】

解：（1）椭圆的标准方程为

（2）因为(1,1),所以,所以,所以直线OQ的方程为y=－2x

又椭圆的左准线方程为x=－2,所以点Q(,4)

所以,又,所以,即,故直线与圆相切

（3）当点在圆上运动时,直线与圆保持相切          

【解析】本题重点考查椭圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系，解题时要认真审题，合理运用椭圆的几何性质．

(1)根据已知条件得到a,b的关系，进而求解得到c=1，由此能得到椭圆C的标准方程；

（2）直线PQ的方程为：y=-（x-1）+1，即x+y-2=0，利用点O到直线PQ的距离，可证直线PQ与圆O相切．

（3）假设存在，当点在圆上运动时,直线与圆保持相切，那么利用相切时斜率的关系得到坐标关系进而证明