Question

已知函数，其中.

（1）若对一切恒成立，求的取值范围；

（2）在函数的图像上取定两点，记直线 的斜率为，证明:存在，使成立.

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）由题意可得

令则

令。

【解析】

试题分析：（1），令

当时单调递减；当时，单调递增

∴当时， 有最小值

于是对于一切,恒成立，当且仅当    ①

令，则

当时，取最大值1，当且仅当时，①式成立

综上所述的取值的集合为

（2）由题意可得

令则

令

当时单调递减；当时，单调递增。故当时，

即，，又，

所以

所以存在，使

考点：利用导数研究函数的极值，不等式恒成立问题。

点评：典型题，在给定区间，导数非负，函数为增函数，导数非正，函数为减函数。求函数的极值问题，基本步骤是“求导数、求驻点、研究单调性、求极值”。“恒成立问题”往往通过构造函数，研究函数的最值，使问题得到解答。