Question

如图，在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，AB＝BC，D、E分别为BB₁、AC₁的中点.

（1）证明ED为异面直线BB₁与AC₁的公垂线；

（2）设AA₁=AC=AB,求二面角A₁ADC₁的大小.

Answer 1

（1）证明：设O为AC中点，连结EO、BO，则EOC₁C，又C₁CB₁B.所以EODB,EOBD为平行四边形，ED∥OB.

∵AB=BC,∴BO⊥AC.

又平面ABC⊥平面ACC₁A₁.

BO面ABC，故BO⊥平面ACC₁A₁，

∴ED⊥平面ACC₁A₁,ED⊥AC₁,ED⊥CC₁.

∴ED⊥BB₁,ED为异面直线AC₁与BB₁的公垂线.

（2）解：连结A₁E.由AA₁=AC=AB，可知A₁ACC₁为正方形，

∴A₁E⊥AC₁.又由ED⊥平面A₁ACC₁和ED平面ADC₁知平面ADC₁⊥平面A₁ACC₁.

∴A₁E⊥平面ADC₁.作EF⊥AD，垂足为F，连结A₁F,则A₁F⊥AD,∠A₁FE为二面角A₁-AD-C₁的平面角.

不妨设AA₁=2,

则AC=2,AB=,ED=OB=1,EF=,

tan∠A₁FE=.∴∠A₁FE=60°.

∴二面角A₁-AD-C₁为60°.