Question

若a＜0时，函数f（x）=sinx-

2

aex在（0，+∞）上有且只有一个零点，则a=

-

1

2e 5 4 π

．

Answer 1

分析：由题意知，在（0，+∞）上

2

a=

sinx

ex

只有一根，由a＜0，知只需求出x＞0时g（x）=

sinx

ex

的最小值，利用导数可求得g（x）的最小值．

解答：解：由题意知，f（x）=0在（0，+∞）上只有一个根，即

2

a=

sinx

ex

只有一根，
因为a＜0，所以只需求出x＞0时g（x）=

sinx

ex

的最小值，
g′（x）=

excosx-exsinx

e2x

=-

sin(x- π 4 )

ex

，
令g′（x）=0可得x=kπ+

π

4

，k∈N，
易知当x=

π

4

，

9

4

π，…时g（x）=

sinx

ex

取极大值，当x=

5

4

π，

13

4

π，…时取极小值，
又g（

5

4

π）＜g（

13

4

π）＜…，
所以g（x）_min=g（

5

4

π）=

sin 5 4 π

e 5 4 π

=-

2 2

e 5 4 π

，
则

2

a=-

2 2

e 5 4 π

，解得a=-

1

2e 5 4 π

，
故答案为：-

1

2e 5 4 π

．

点评：本题考查函数的零点、导数求函数的最值，考查转化思想、函数思想，思维含量较高．