Question

（2012•丰台区一模）已知函数f（x）=ax²-（a+2）x+lnx．
（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）当a＞0时，函数f（x）在区间[1，e]上的最小值为-2，求a的取值范围；
（Ⅲ）若对任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁＜x₂，且f（x₁）+2x₁＜f（x₂）+2x₂恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）我们易求出f（1）及f′（1）的值，代入点斜式方程即可得到答案；
（Ⅱ）确定函数的定义域，求导函数，分类讨论，确定函数的单调性，利用函数f（x）在区间[1，e]上的最小值为-2，即可求a的取值范围；
（Ⅲ）设g（x）=f（x）+2x，则g（x）=ax²-ax+lnx，对任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁＜x₂，且f（x₁）+2x₁＜f（x₂）+2x₂恒成立，等价于g（x）在（0，+∞）上单调递增，由此可求a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x²-3x+lnx，f′(x)=2x-3+

1

x

．         …（1分）
因为f'（1）=0，f（1）=-2，…（2分）
所以切线方程为 y=-2．                                     …（3分）
（Ⅱ）函数f（x）=ax²-（a+2）x+lnx的定义域为（0，+∞）．
当a＞0时，f′(x)=2ax-(a+2)+

1

x

=

2ax2-(a+2)x+1

x

（x＞0），…（4分）
令f'（x）=0，即f′(x)=

2ax2-(a+2)x+1

x

=

(2x-1)(ax-1)

x

=0，所以x=

1

2

或x=

1

a

．          …（5分）
当0＜

1

a

≤1，即a≥1时，f（x）在[1，e]上单调递增，
所以f（x）在[1，e]上的最小值是f（1）=-2；                      …（6分）
当1＜

1

a

＜e时，f（x）在[1，e]上的最小值是f(

1

a

)＜f(1)=-2，不合题意；
当

1

a

≥e时，f（x）在（1，e）上单调递减，
所以f（x）在[1，e]上的最小值是f（e）＜f（1）=-2，不合题意．      …（7分）
综上可得 a≥1．                                            …（8分）
（Ⅲ）设g（x）=f（x）+2x，则g（x）=ax²-ax+lnx，对任意x₁，x₂∈（0，+∞），x₁＜x₂，且f（x₁）+2x₁＜f（x₂）+2x₂恒成立，等价于g（x）在（0，+∞）上单调递增．…（9分）
而g′(x)=2ax-a+

1

x

=

2ax2-ax+1

x

，…（10分）
当a=0时，g′(x)=

1

x

＞0，此时g（x）在（0，+∞）单调递增；      …（11分）
当a≠0时，只需g'（x）≥0在（0，+∞）恒成立，因为x∈（0，+∞），只要2ax²-ax+1≥0，则需要a＞0，
对于函数y=2ax²-ax+1，过定点（0，1），对称轴x=

1

4

＞0，只需△=a²-8a≤0，即0＜a≤8．    …（12分）
综上可得 0≤a≤8．                                        …（13分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查导数的几何意义，考查恒成立问题，正确求导是关键．