Question

如图A，B是单位圆O上的动点，且A，B分别在第一，二象限．C是圆与x轴正半轴的交点，△AOB为正三角形．若A点的坐标为(

3

5

，y)．记∠COA=α．
（1）求tanα及cos2α．
（2）求B的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据三角函数的定义求出sinα和cosα，然后根据三角函数的关系式即可求解．
（2）根据两角和的正弦公式和余弦公式进行求解即可．

解答：解：（1）∵∠COA=α，A点的坐标为(

3

5

，y)．
∴cosα=

3

5

，
∵A，B分别在第一，二象限．
∴sinα=

4

5

．
则tanα=

sinα

cosα

=

4 5

3 5

=

4

3

，cos2α=2cos²α-1=2×(

3

5

)2-1=

18

25

-1=-

7

25

．
（2）∵△AOB为正三角形，
∴∠COB=α+60°，
设B（x，y），
则y=sin（α+60°）=sin?αcos?60^?+cos?αsin?60^?=

4

5

×

1

2

+

3

5

×

3

2

=

4+3 3

10

．
x=cos（α+60°）=cos?αcos?60^?-sin?αsin?60^?=

3

5

×

1

2

-

4

5

×

3

2

=

3-4 3

10

，
即B（

3-4 3

10

，

4+3 3

10

）．

点评：本题主要考查三角函数的定义以及两角和的正弦和余弦公式，考查学生的计算能力．