Question

对任意非零向量a、b,求证:|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|.

Answer 1

证明：分三种情况考虑.

    (1)当a、b共线且方向相同时,|a|-|b|＜|a+b|=|a|+|b|,|a|-|b|=|a-b|＜|a|+|b|.

    (2)当a、b共线且方向相反时,∵a-b=a+(-b),a+b=a-(-b),利用(1)的结论有||a|-|b||＜|a+b|＜|a|+|b|,|a|-|b|＜|a-b|=|a|+|b|.

    (3)当a、b不共线时,设=a,=b,作=+=a+b,=-=a-b,利用三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,得||a|-|b||＜|a±b|＜|a|+|b|.

综上得证.