Question

对任意非零向量a、b，求证：|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|．

Answer 1

分析：分向量共线与不共线的情况，利用向量加法、减法的三角形法则做出图形，结合三角形的边的关系：“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”进行证明．

解答：证明：分三种情况考虑．
（1）当a、b共线且方向相同时，|a|-|b|＜|a+b|=|a|+|b|，|a|-|b|=|a-b|＜|a|+|b|．
（2）当a、b共线且方向相反时，
∵a-b=a+（-b），a+b=a-（-b），
利用（1）的结论有||a|-|b||＜|a+b|＜|a|+|b|，|a|-|b|＜|a-b|=|a|+|b|．
（3）当a，b不共线时，设

OA

=a，

OB

=b，作

OC

=

OA

+

OB

=a+b，

BA

=

OA

-

OB

=a-b，
利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得||a|-|b||＜|a±b|＜|a|+|b|．
综上得证．

点评：本题主要考查了平面向量的共线与不共线时两向量和（或差）的模与向量模的和（或差）的大小关系，解决问题的关键是要熟练运用向量的加法及减法的三角形法则（平行四边形法则）．分类讨论的数学思想要注意掌握．