题目内容
（本小题满分15分）
设关于x的方程
有两个实根
、
，且
．定义函数
．
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）判断
在区间
上的单调性，并加以证明；
（Ⅲ）若
为正实数，证明不等式：
．
【答案】
（Ⅰ）
（Ⅱ）
在
上为增函数，证明略
（Ⅲ）
证明略
【解析】（Ⅰ）解：∵
是方程
的两个实根
∴
∴
同理
∴ …………5分
（Ⅱ）∵
∴
…………8分
当
时，
而
∴在上为增函数 …………10分
（Ⅲ）∵
且
∴
∴
…………12分
由（Ⅱ）可知
同理可得
∴
∴
…………14分
又由（Ⅰ）知
∴
所以 …………15分
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的单调区间；
，试分别解答以下两小题.
对任意的
恒成立，求实数
的取值范围；
是两个不相等的正数，且
，求证：
．
、
分别为椭圆
：
的 
：
的焦点，
是
。
：
，过点P的动直线
与圆
，
（
且
）。求证：点Q总在某定直线上。
的左、右焦点分别为
、
，过
与椭圆相交于A、B两点。
，且
，求椭圆的离心率；
求
的最大值和最小值。
在定义域内存在区间
，满足
是否为“优美函数”？若是，求出
；若不是，说明理由；
为“优美函数”，求实数
的取值范围．