Question

6．求函数y=$\frac{{e}^{x}}{{e}^{x}+1}$的反函数，并求反函数的定义域．

Answer 1

分析 由y=$\frac{{e}^{x}}{{e}^{x}+1}$，求出x=ln$\frac{y}{1-y}$，x，y互换，能求出函数y=$\frac{{e}^{x}}{{e}^{x}+1}$的反函数，由$\frac{x}{1-x}＞0$，能求出反函数的定义域．

解答 解：∵y=$\frac{{e}^{x}}{{e}^{x}+1}$，
∴ye^x+y=e^x，
∴（y-1）e^x=-y，
∴${e}^{x}=\frac{y}{1-y}$，
∴x=ln$\frac{y}{1-y}$，
x，y互换，得函数y=$\frac{{e}^{x}}{{e}^{x}+1}$的反函数为：$y=ln\frac{x}{1-x}$，
$\frac{x}{1-x}＞0$，解得反函数的定义域为：{x|0＜x＜1}．

点评 本题考查函数的反函数及反函数的定义域的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数的性质的合理运用．