题目内容
设
是抛物线
上相异两点，
到y轴的距离的积为
且
．
（1）求该抛物线的标准方程.
（2）过Q的直线与抛物线的另一交点为R，与
轴交点为T，且Q为线段RT的中点，试求弦PR长度的最小值．
【答案】
（1）
.（2）直线PQ垂直于x轴时|PR|取最小值
.
【解析】
试题分析：（1）确定抛物线的标准方程，关键是确定
的值.利用
，可得
，
再根据P、Q在抛物线上，得到
，集合已知条件
，得4p2＝4，p=1．
（2）设直线PQ过点
，且方程为
，应用联立方程组
消去x得y2 2my 2a＝0，利用韦达定理，建立
的方程组，确定得到
，利用“弦长公式”求解.
试题解析： （1）∵ ·＝0，则x1x2＋y1y2＝0， 1分
又P、Q在抛物线上，故y12＝2px1，y22＝2px2，故得
＋y1y2＝0， y1y2＝ 4p2
3分
又|x1x2|＝4，故得4p2＝4，p=1．
所以抛物线的方程为: 5分
（2）设直线PQ过点E(a,0）且方程为x＝my＋a
联立方程组
消去x得y2 2my 2a＝0
∴ 
①
7分
设直线PR与x轴交于点M(b,0)，则可设直线PR方程为x＝ny＋b,并设R(x3,y3)，
同理可知
②
9分
由①、②可得
由题意，Q为线段RT的中点，∴ y3＝2y2，∴b=2a
又由（Ⅰ）知， y1y2＝ 4，代入①，可得
2a＝ 4 ∴ a＝2．故b＝4． 11分
∴
∴
.
当n=0，即直线PQ垂直于x轴时|PR|取最小值
14分
考点：抛物线标准方程，直线与抛物线的位置关系.
练习册系列答案
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，若存在，求出F点的坐标（用p表示），若不存在，说明理由．
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