题目内容

已知椭圆 $数学公式$ （a＞b＞0）的右焦点为F₂（3，0），离心率为e= $数学公式$ ．
（I）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线经过点P（1，2），与椭圆相交于A，B两点，AB的中点为M，求M的轨迹方程．

解：（Ⅰ）由题意得c=3， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，∴a=2 $\text{[math]}$
结合a²=b²+c²，解得a²=12，b²=3．
所以，椭圆的方程为 $\text{[math]}$ ；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y），则
$\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
两方程相减可得 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$
∵直线经过点P（1，2），
∴- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴x（x-1）+4y（y-2）=0
即M的轨迹方程为x（x-1）+4y（y-2）=0．
分析：（Ⅰ）由题意得c=3， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，由此可得椭圆的方程；
（Ⅱ）利用点差法，结合直线的斜率，即可求M的轨迹方程．
点评：本题考查椭圆方程的求法和直线与椭圆位置关系的综合运用，考查点差法的运用，属于中档题．

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已知椭圆=1(a＞b＞0)与双曲线=1(m＞0,n＞0)有相同的焦点(-c,0)和(c,0),若c是a、m的等比中项,n²是2m²与c²的等差中项,则椭圆的离心率是( )

A. B. C. D.

（本题满分14分）

如图，已知椭圆=1(a＞b＞0)，F₁、F₂分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上的顶点，直线AF₂交椭圆于另一点B.

(1)若∠F₁AB=90°，求椭圆的离心率；

(2)若＝2，·＝，求椭圆的方程．

已知椭圆（a>b>0）,点在椭圆上。

（I）求椭圆的离心率。

（II）设A为椭圆的右顶点，O为坐标原点，若Q在椭圆上且满足|AQ|=|AO|，求直线OQ的斜率的值。

【考点定位】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、平面内两点间距离公式等基础知识. 考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，以及数形结合的数学思想方法.考查运算求解能力、综合分析和解决问题的能力.

已知椭圆（a＞b＞0）的焦距为4，且与椭圆有相同的离心率，斜率为k的直线l经过点M（0，1），与椭圆C交于不同两点A、B．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）当椭圆C的右焦点F在以AB为直径的圆内时，求k的取值范围．

(本小题满分分)

（普通高中）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率，焦距是函数的零点.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线与椭圆交于、两点,，求k的值．