Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足

an-1

Sn

=

a-1

a

（a＞0），数列{b_n}满足b_n=a_n•log_aa_n
（1）求数列{a_n}的通项；
（2）求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

（1）当n=1时，a₁=a＞0且a≠1，
当n≥2时，Sn=

a

a-1

(an-1)，Sn-1=

a

a-1

(an-1-1)，
两式相减得an=

a

a-1

(an-an-1)，化为

an

an-1

=a，
∴数列{a_n}是等比数列，an=an；
（2）bn=an•lo

g

ana

=naⁿ．
当a=1时，T_n=1+2+…+n=

n(1+n)

2

．
当a≠1时，T_n=a+2a²+3a³+…+naⁿ，
aTn=a2+2a3+…++（n-1）aⁿ+naⁿ⁺¹，
∴（1-a）T_n=a+a²+…+aⁿ-naⁿ⁺¹=

a(an-1)

a-1

-nan+1，
∴T_n=

a+(na-n-1)an+1

(a-1)2

．