Question

已知向量

m

=(

3

sin

x

4

，1)，

n

=(cos

x

4

，cos2

x

4

)．
（1）若

m

•

n

=1，求cos(x+

π

3

)的值；
（2）记函数f（x）=

m

•

n

，在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a-c）cosB=bcosC，求f（A）的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由两向量的坐标及

m

•

n

=1，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，可得出sin（

x

2

+

π

6

）的值，然后将所求式子利用二倍角的余弦函数公式化简后，将得出的sin（

x

2

+

π

6

）的值代入即可求出值；
（2）利用正弦定理化简已知的等式，移项整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形后，根据sinA不为0，可得出cosB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值求出B的度数，确定出A的范围，得出

A

2

+

π

6

的范围，根据正弦函数的图象与性质得出sin（

A

2

+

π

6

）的范围，即可得出f（A）的范围．

解答：解：（1）∵

m

（

3

sin

x

4

，1），

n

（cos

x

4

，cos²

x

4

），

m

•

n

=1，
∴

3

sin

x

4

cos

x

4

+cos²

x

4

=1，…（2分）
即

3

2

sin

x

2

+

1

2

cos

x

2

+

1

2

=1，
∴sin（

x

2

+

π

6

）=

1

2

，…（4分）
则cos（x+

π

3

）=1-2sin2（

x

2

+

π

6

）=1-2•（

1

2

）²=

1

2

；…（7分）
（2）∵（2a-c）cosB=bcosC，
由正弦定理得（2sinA-sinC）cosB=sinBcocC，
∴2sinAcosB-sinCcosB=sinBcosC，
∴2sinAcosB=sin（B+C），…（9分）
∵A+B+C=π，
∴sin（B+C）=sinA，且sinA≠0，
∴cosB=

1

2

，即B=

π

3

，…（11分）
∴0＜A＜

2π

3

，
∴

π

6

＜

A

2

+

π

6

＜

π

2

，
∴

1

2

＜sin（

A

2

+

π

6

）＜1，…（12分）
又∵f（x）=

m

•

n

=sin（

x

2

+

π

6

）+

1

2

，
∴f（A）=sin（

A

2

+

π

6

）+

1

2

，
∴1＜f（A）＜

3

2

，
则函数f（A）的取值范围是（1，

3

2

）．…（14分）

点评：此题考查了正弦定理，正弦函数的定义域与值域，平面向量的数量积运算法则，二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，诱导公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．