Question

已知数列{a_n}中，S_n是它的前n项和，并且S_n+1=4a_n+2(n=1,2,…),a₁=1.

(1)设b_n=a_n+1-2a_n,求证：数列{b_n}是等比数列；

(2)设c_n=，求证：数列{c_n}是等差数列.

   

Answer 1

证明：(1)由已知，得S_n+1=4a_n+2,S_n+2=4a_n+1+2.

    两式相减，得S_n+2-S_n+1=4(a_n+1-a_n),

    即a_n+2=4a_n+1-4a_n,a_n+2-2a_n+1=2(a_n+1-2a_n),

    即b_n+1=2b_n.

∴数列{b_n}是公比为2的等比数列.

(2)在S_n+1=4a_n+2中，令n=1，得S₂=4a₁+2=6.

    而S₂=a₁+a₂,∴a₂=5.∴b_n=b₁·2^n-1=(a₂-2a₁)·2^n-1=3·2^n-1,即a_n+1-2a_n=3·2^n-1.

∴-=,即c_n+1-c_n=.

∴数列{c_n}是公差为的等差数列.