题目内容
A，B是抛物线y2=4ax（a＞0）上的两动点，且OA⊥OB，OP⊥AB于P，求动点P的轨迹．
分析：设出P的坐标，可得直线AB的方程，与抛物线联立，利用韦达定理，结合垂直关系，化简，即可得到结论．
解答：解：设P（x0，y0），则kOP=
，kAB=-
，直线AB方程是y=-
（x-x0）+y0．
由y2=4ax可得x=
，将其代入上式，整理得
x0y2-（4ay0）y-4ay02-4ax02=0．①
此方程的两根y1、y2分别是A、B两点的纵坐标．
根据韦达定理得，由①可得y1•y2=
，
又∵A、B在抛物线上，∴A（
，y1）、B（
，y2）．
∵OA⊥OB，∴kOA•kOB=-1．
∴
•
=-1．
∴y1y2=-16p2．
∴
=16p2．
化简得x02+y02-4ax0=0，即x2+y2-4ax=0（除去原点）为所求．
| y0 |
| x0 |
| x0 |
| y0 |
| x0 |
| y0 |
由y2=4ax可得x=
| y2 |
| 4a |
x0y2-（4ay0）y-4ay02-4ax02=0．①
此方程的两根y1、y2分别是A、B两点的纵坐标．
根据韦达定理得，由①可得y1•y2=
| -4a(x02+y02) |
| x0 |
又∵A、B在抛物线上，∴A（
| y12 |
| 4a |
| y22 |
| 4a |
∵OA⊥OB，∴kOA•kOB=-1．
∴
| 4a |
| y1 |
| 4a |
| y2 |
∴y1y2=-16p2．
∴
| 4a(x02+y02) |
| x0 |
化简得x02+y02-4ax0=0，即x2+y2-4ax=0（除去原点）为所求．
点评：本题考查轨迹方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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已知A、B是抛物线y2=2px（p＞0）上异于原点O的两点，则“
•
=0”是“直线AB恒过定点（2p，0）”的（ ）
| OA |
| OB |
| A、充分非必要条件 |
| B、充要条件 |
| C、必要非充分条件 |
| D、非充分非必要条件 |
[理]已知A、B是抛物线y2=4x上两点，且
•
=0，则原点O到直线AB的最大距离为（ ）
| OA |
| OB |
| A、2 | B、3 | C、4 | D、8 |