Question

如图，沿等腰直角三角形ABC的中位线DE，将平面ADE折起（转动一定角度），得到四棱锥A-BCDE，设CD、BE、AE、AD的中点分别为M、N、P、Q，平面ADE⊥平面BCDE．
（1）求证：平面ABC⊥平面ACD；
（2）求证：M、N、P、Q四点共面；
（3）求异面直线BE与MQ所成的角．

Answer 1

分析：（1）要证明两个平面垂直，只需证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线即可，也就是只需证线面垂直即可，而要证线面垂直，只需证明这条直线垂直平面内的两条相交直线，这样，一步步寻找成立的条件．
（2）要证四点共线，只需找到一个平面，是这四个点在这个平面内，用确定平面的方法，两条平行线确定一个平面，即可证出．
（3）求异面直线所成角，先平移两条异面直线中的一条，使它们成为相交直线，则相交直线所成角就是异面直线所成角或其补角，再放入三角形中计算即可．

解答：解：（1）证明∵平面ADE⊥平面BCDE，平面ADE∩平面BCDE=DE
AD?平面ADE，AD⊥DE
∴AD⊥平面BCDE
∵BC?平面BCDE∴AD⊥BC
又∵BC⊥DC，DC∩AD=D
∴BC⊥平面ACD，
∵BC?平面ABC
∴平面ABC⊥平面ACD
（2）证明：∵M，N，P，Q分别为CD、BE、AE、AD的中点，
∴MN∥DE，PQ∥DE，
∴MN∥PQ，∴直线MN，PQ确定一个平面．
∴M、N、P、Q四点共面
（3）取BC中点K，连接DK，则DK∥BE，
取CK中点F，连接MF，则MF∥DK，
∴MF∥BE，∴∠QMP为异面直线BE，QM所成角或其补角．
设AC长为4，则QD=DM=MC=CF=1，
∵QD⊥DM，∴QM=

2

∵MC⊥CF，∴MF=

2

连接QF，DF，在Rt△QDF中，QD=1，DF=

5

，∴QF=

6

在△QMF中，cos∠QMF=

QM2+MF2-QF

2QM•MF

=-

1

2

∴∠QMF=

2π

3

，∴异面直线BE与MQ所成的角为

π

3

点评：本题考查了平面垂直，四点共线，以及异面直线所成角的求法，是立体几何中的常规题，应当掌握．