Question

当a＜0时，函数y=

1

3

x³-ax²-3a²x-4在（3，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（　　）

A．（-3，0）

B．[-3，0）

C．[-3，1]

D．（-3，1）

Answer 1

分析：根据题意，可将问题转化为导函数y′≥0在（3，+∞）上恒成立，即求y′_min≥0，运用二次函数的性质即可求得y′_min，从而得到关于a的不等关系，求解即可得到a的取值范围．

解答：解：∵y=

1

3

x³-ax²-3a²x-4，
∴y′=x²-2ax-3a²，
∵函数y=

1

3

x³-ax²-3a²x-4在（3，+∞）上是增函数，
∴y′=x²-2ax-3a²≥0在（3，+∞）上恒成立，
∵y′=x²-2ax-3a²=（x-a）²-4a²，
∴对称轴为x=a＜0，
∴y′在（3，+∞）单调递增，
∴y′＞3²-2a×3-3a²=9-6a-3a²≥0，
∴-3≤a≤1，又a＜0，
∴-3≤a＜0，
∴实数a的取值范围是[-3，0）．
故选B．

点评：本题考查了函数单调性的综合运用，函数的单调性对应着导数的正负，若已知函数的单调性，经常会将其转化成恒成立问题解决．属于中档题．