题目内容

已知函数f（x）=2x+ $数学公式$ 的定义域为（0，1]（a为实数）．
（1）求证：当a=1时，函数y=f（x）在区间[ $数学公式$ ，1]上单调递增；
（2）当a＞0时，函数y=f（x）在x∈（0，1]上是否有最大值和最小值，如果有，求出函数的最值以及相应的x的值．

证明：（1）当a=1时，f（x）=2x+ $\text{[math]}$ ．
取x₁，x₂∈[ $\text{[math]}$ ，1]，且x₁＜x₂，则
x₁-x₂＜0， $\text{[math]}$ ＜x₁•x₂＜1
f（x₁）-f（x₂）=（x₁-x₂） $\text{[math]}$ ＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）
所以，函数y=f（x）在区间[ $\text{[math]}$ ，1]上单调递增
解：（2）当a＞0时，∵f（x）=2x+ $\text{[math]}$
∴f′（x）=2- $\text{[math]}$
令f′（x）=0，则x= $\text{[math]}$
∵x∈（0， $\text{[math]}$ ]时，f′（x）≤0；x∈[ $\text{[math]}$ ，+∞）时，f′（x）≥0；
∴函数y=f（x）在区间（0， $\text{[math]}$ ]上单调递减，在区间[ $\text{[math]}$ ，+∞）上单调递增．
所以函数没有最大值．
当 $\text{[math]}$ ≥1时，a≥2，f（x）_min=f（1）=2+a
当 $\text{[math]}$ ＜1时，0＜a＜2，f（x）_min=f（ $\text{[math]}$ ）=2 $\text{[math]}$ a
分析：（1）将a=1代入，求出函数的解析式，利用定义法，可证明出函数y=f（x）在区间[ $\text{[math]}$ ，1]上单调递增；
（2）当a＞0时，利用导数法，可以得到函数y=f（x）的单调性，进而分析1与极值点的关系，可得答案．
点评：本题考查的知识点是函数最值的应用，函数单调性判断与证明，定义法和导数法是最常见的判断函数单调性的方法，一定要熟练掌握．