Question

等差数列{a_n}中，公差d≠0，已知数列ak1，ak2，ak3…akn…是等比数列，其中k₁=1，k₂=7，k₃=25．
（1）求数列{k_n}的通项公式k_n；
（2）若a₁=9，b_n=

1

log3akn+ log3(kn+2)

（n∈N₊），S_n是数列{b_n}的前n项和，求证Sn＜

n

2

．

Answer 1

（1）设{a_n}的首项为a₁，公差为d（d≠0），
∵a₁，a₇，a₂₅成等比数列，
∴(a1+6d)2=a₁（a₁+24d），
∴36d²=12a₁d，又d≠0，
∴a₁=3d…3分
∴a_n=3d+（n-1）d=（n+2）d，
又

ak2

ak1

=

a7

a1

=

9d

3d

=3，…5分
∴{akn}是以a₁=3d为首项，3为公比的等比数列，
∴akn=3d•3^n-1=d•3ⁿ…6分
∴（k_n+2）d=d•3ⁿ（d≠0），
∴k_n=3ⁿ-2（n∈N^*）…7分
（2）证明：∵a₁=9=3d，
∴d=3，…8分
∴akn=d•3ⁿ=3ⁿ⁺¹，又k_n=3ⁿ-2，
∴b_n=

1

log3akn+ log3(kn+2)

=

1

n+1 + n

=

n+1

-

n

，…10分
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n=

2

-1+

3

-

2

+…+

n+1

-

n

=

n+1

-1．故只需证

n+1

-1＜

n

2

?

n

2

-

n+1

+1＞0，
令f（x）=

x

2

-

x+1

+1，…12分
则f′（x）=

1

2

-

1

2

•

1

x+1

＞0在[1，+∞）上恒成立，
∴f（x）在[1，+∞）上单调递增，
故f（x）≥f（1）=

3

2

-

2

＞0，
∴

x

2

-

x+1

+1＞0在[1，+∞）上恒成立，
∴

n+1

-1＜

n

2

（n∈N^*），
即S_n＜

n

2

…14分