Question

正方体ABCD—EFGH的棱长为a，点P在AC上，Q在BG上，AP=BQ=a.

（1）求直线PQ与平面ABCD所成角的正切值；

（2）求证：PQ⊥AD.

Answer 1

（1）解析:作PM⊥BC于M，连结QM，

∵AB⊥BC，∴PM∥AB，于是.∵AP=BQ，

∴GQ=CP.这样可得.

∴QM∥GC.

∵GC⊥平面AC，

∴QM⊥平面AC.

∠QPM是PQ与平面AC所成的角，

QM=，

∴tan∠QPM=.

（2）证明:上面已证MP∥AB，QM∥GC，而AB⊥BC，QM⊥BC，

∴BC⊥MP，且BC⊥QM.

∴BC⊥平面PQM，因此BC⊥PQ.由AD∥BC可知PQ⊥AD.

小结：（1）中求直线PQ与平面ABCD所成角的正切值的过程是“作、证、算”，即先作出∠QPM，然后再证明∠QPM是PQ与平面ABCD所成角，最后再计算其正切值.（2）中证PQ⊥AD，由于BC∥AD，于是就把证PQ⊥AD的问题转化成了证明PQ⊥BC的问题.