题目内容

在锐角△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，且 $数学公式$ ，
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）若边a=3，△ABC的面积等于 $数学公式$ ，求边长b．

解：（Ⅰ）由 $\text{[math]}$ 及正弦定理得， $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，
因为△ABC是锐角三角形，∴ $\text{[math]}$ ．
（Ⅱ）由面积公式得 $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ ，得b=2．
分析：（Ⅰ）由 $\text{[math]}$ 及正弦定理得， $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，从而得到C值．
（Ⅱ）由面积公式得 $\text{[math]}$ ，解方程求得边长b．
点评：本题考查利用正弦定理解三角形，三角形面积公式的应用，由 $\text{[math]}$ 及正弦定理得， $\text{[math]}$ ，是解题的关键．

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在△ABC中，给出如下命题：
①若

＞0，则△ABC为锐角三角形；
②O是△ABC所在平面内一定点，且满足

，则O是△ABC的垂心；
③O是△ABC所在平面内一定点，动点P满足

)，λ∈[0，+∞)，则动点P一定过△ABC的重心；
④O是△ABC内一定点，且

，则△ABC为等腰直角三角形．
其中正确的命题为

（将所有正确命题的序号都填上）．

给出下列命题：

(1)α、β是锐角△ABC的两个内角，则sinα＜sinβ；

(2)在锐角△ABC中，BC＝1，B＝2A，则AC的取值范围为()；

(3)已知与为互相垂直的单位向量，＝－2，＝＋λ且与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是；

(4)已知O是△ABC所在平面内定点，若P是△ABC的内心，则有＝＋λ()，λ∈R；

(5)直线x＝－是函数y＝sin(2x－)图象的一条对称轴．

其中正确命题是

A．(1)(3)(5)

B．(2)(4)(5)

C．(2)(3)(4)

D．(1)(4)(5)

如图，在锐角△ABC中，AB<AC，AD是边BC上的高，P是线段AD内一点。过P作PE⊥AC，垂足为E，做PF⊥AB，垂足为F。O₁、O₂分别是△BDF、△CDE的外心。求证：O₁、O₂、E、F四点共圆的充要条件为P是△ABC的垂心。

如图，在锐角△ABC中，AB<AC，AD是边BC上的高，P是线段AD内一点。过P作PE⊥AC，垂足为E，做PF⊥AB，垂足为F。O₁、O₂分别是△BDF、△CDE的外心。求证：O₁、O₂、E、F四点共圆的充要条件为P是△ABC的垂心。

己知在锐角ΔABC中，角所对的边分别为，且

(I )求角大小；

(II)当时，求的取值范围.

20．如图1，在平面内，是的矩形，是正三角形，将沿折起，使如图2，为的中点，设直线过点且垂直于矩形所在平面，点是直线上的一个动点，且与点位于平面的同侧。

（1）求证：平面；

（2）设二面角的平面角为，若，求线段长的取值范围。

21.已知A，B是椭圆的左，右顶点，，过椭圆C的右焦点F的直线交椭圆于点M，N，交直线于点P，且直线PA，PF，PB的斜率成等差数列,R和Q是椭圆上的两动点，R和Q的横坐标之和为2，RQ的中垂线交X轴于T点

(1)求椭圆C的方程；

（2）求三角形MNT的面积的最大值

22. 已知函数，

（Ⅰ）若在上存在最大值与最小值，且其最大值与最小值的和为，试求和的值。

（Ⅱ）若为奇函数：

（1）是否存在实数，使得在为增函数，为减函数，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；

（2）如果当时，都有恒成立，试求的取值范围.