Question

22.已知数列{a_n}中a₁=1，且a_2k=a_2k－1+（－1）^k,a_2k+1=a_2k+3^k,其中k=1,2,3,….

（Ⅰ）求a₃,a₅;

（Ⅱ）求{a_n}的通项公式.

Answer 1

22.本小题主要考查数列、等比数列的概念和基本知识，考查运算能力以及分析、归纳和推理能力.

解：（Ⅰ）a₂=a₁+（－1）¹=0,

a₃=a₂+3¹=3,

a₄=a₃+（－1）²=4,

a₅=a₄+3²=13,

所以a₃=3,a₅=13.

（Ⅱ）a_2k+1=a_2k+3^k=a_2k－1+（－1）^k+3^k,

所以a_2k+1－a_2k－1=3^k+（－1）^k,

同理a_2k－1－a_2k－3=3^k－1+（－1）^k－1,

……

a₃－a₁=3+（－1）.

所以（a_2k+1－a_2k－1）+（a_2k－1－a_2k－3）+…+（a₃－a₁）

=（3^k+3^k－1+…+3）+［（－1）^k+（－1）^k－1+…+（－1）］,

由此得a_2k+1－a₁=（3^k－1）+［（－1）^k－1］,

于是a_2k+1=+（－1）^k－1.

a_2k=a_2k－1+（－1）^k

=+（－1）^k－1－1+（－1）^k

=+（－1）^k－1.

{a_n}的通项公式为：

当n为奇数时，

a_n=+（－1）×－1;

当n为偶数时，a_n=+（－1）×－1.