Question

设复数z=1+i，则(

z

2

)2012+(

. z

2

)2012=

-2

．

Answer 1

分析：由于

z

2

=cos

π

4

+isin

π

4

，

. z

2

=cos（-

π

4

）+isin（-

π

4

），再利用棣莫弗定理求得 (

z

2

)2012+(

. z

2

)2012的值．

解答：解：由于

z

2

=

2

2

+

2

2

i=cos

π

4

+isin

π

4

，

. z

2

=

2

2

-

2

2

i=cos（-

π

4

）+isin（-

π

4

），
∴(

z

2

)2012+(

. z

2

)2012=[cos

π

4

+isin

π

4

]2012+[cos(-

π

4

)+isin(-

π

4

)]2012=（cos503π+isin503π）+[cos（-503π）+isin（-503）π]
=2cos503π=2cosπ=-2，
故答案为-2．

点评：本题主要考查复数的乘方运算，棣莫弗定理的应用，属于基础题．