Question

【题目】已知椭圆：经过点，离心率为.　

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过坐标原点作直线交椭圆于、两点，过点作的平行线交椭圆于、两点．是否存在常数, 满足？若存在，求出这个常数；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由题意可得，解得a2＝12，b2＝8，即可求出椭圆方程，

（2）设出直线l的方程为x＝my+2，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，求出|AB|，再设直线x＝my，代入椭圆方程，化简可得|OP|，再由计算即可得到所求常数λ．

（1）由题意可得，解得a2＝12，b2＝8，c2＝4，

故椭圆C的方程为1，

（2）设直线AB的方程为x＝my+2，A（x1，y1），B（x2，y2），

由

得（2m2+3）y2+8my﹣16＝0，

即有y1+y2，y1y2，

|AB|8，

设P（x3，y3），Q（x4，y4），

由x＝my代入椭圆方程可得

消去x，并整理得y2，

∴x2＝m2，

∴|OP|2，

∵|AB|＝λ|OP|2，

∴8λ，

∴λ

故存在常数λ，使得|AB|＝λ|OP|2