Question

已知函数f（x）=2-2a^x-a^2x（a＞0且a≠1）．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）若x∈[-1，2]时，函数f（x）的最小值为-6，求a的值并求函数f（x）的最大值．

Answer 1

解：（1）令 a^x=t＞0，可得函数h（t）=f（x）=2-2t-t²=3-（t+1）²．
由于 （t+1）²≥1，∴f（x）≤2，故函数f（x）的值域为（-∞，2]．
（2）①当a＞1时，由x∈[-1，2]可得，≤t≤a²，由于函数h（t）=f（x）=3-（t+1）² 在区间[，a²]上是减函数，
故当t=a²时，函数f（x）取得最小值为 3-（a²+1）²=-6，解得 a=；故当t==时，函数取得最大值为-．
②当 0＜a＜1时，由x∈[-1，2]可得，≥t≥a²，由于函数h（t）=f（x）=3-（t+1）² 在区间[a²，]上是减函数，
故当t=时，函数f（x）取得最小值为 3-=-6，解得 a=，故当t=a²=时，函数取得最大值为3-=．
综上可得，a的值等于，函数f（x）的最大值为-；或者是a=，函数的最大值为 ．
分析：（1）令 a^x=t＞0，可得函数h（t）=f（x）=2-2t-t²=3-（t+1）²．再根据 （t+1）²≥1，求得函数f（x）的值域为．
（2）①当a＞1时，由x∈[-1，2]可得 ≤t≤a²，由于函数h（t）=f（x）=3-（t+1）² 在区间[，a²]上是减函数，根据函数f（x）的最小值为-6，求得a的值，进而
求得函数取得最大值．②当 0＜a＜1时，同理求得得a的值以及函数的最大值．
点评：本题主要考查指数函数的性质应用，根据二次函数的单调性求函数的最值，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．