Question

（09年湖南师大附中月考文）(13分)

已知点在椭圆：上，、分别为椭圆的左、右焦点，满足，．

(1)求椭圆的离心率；

(2)若椭圆的长轴长为6，过点且不与轴垂直的直线与椭圆相交于两个不同点、，且（，且）。在轴上是否存在定点，使得．若存在，求出所有满足这种条件的点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

解析：（1）令，．

由题意得：

又，所以，

所以…………………………………(4分)

（2）∵，∴，于是，

∴，

∴椭圆E的方程为…………………………………………………(5分)

从而，

设点M、N、G的坐标依次为、、，

∵，∴，

∴………………………………………………………………(7分)．

又，

且，

∴

即得．  ………………………………………………(9分)

又，

故得．……………………………………………(*)(10分)

因不垂直于轴，设直线的方程为，与椭圆：联立得：

∵点在椭圆内部，

∴直线必与椭圆有两个不同交点．

方程有两个不等实数根，

则由根与系数的关系，得

，，

代入（*）得

整理，得，即

∴存在这样的定点满足题设．…………………………………………(13分)