Question

（09年湖南师大附中月考理）(13分)

已知向量，，动点到定直线的距离等于，并且满足，其中是坐标原点，是参数。

（1）求动点的轨迹方程；

（2）当时，若直线与动点的轨迹相交于、两点，线段的垂直平分线交轴，求的取值范围；

    （3）如果动点的轨迹是一条圆锥曲线，其离心率满足，求的取值范围。

Answer 1

解析：（1）设，则由，且是原点，

得，，，从而，，，

，，根据

得，

即为所求轨迹方程。………………………………(4分)

（2）当时，动点的轨迹方程是，即，

∵的方程为，∴代入，

∴，∴，∴，

∴或，∴。

∴的中点为，∴垂直平分线方程为，

令得，∴

∴，

∴（）…………………(8分)

（3）由于，即，所以此时圆锥曲线是椭圆，其方程可以化为………………………………(9分)

①当时，，，，此时，

而，∴；………………………………(11分)

②当时，，，，

此时，而，∴

而时，可解得。综上可知的取值范围是

……………………………………………………(13分)